训练营第三十七天动态规划（基础题part3）

343. 整数拆分

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题目

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

解答

五部曲

1. 确定dp数组 分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
2. 确定数组初始化 dp[2] = 1
3. 确定赋值规律 dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j})
   1. 需要对dp【i】也进行比较是因为每次拆分都会更新dp[i]，dp[i]并不是一成不变的
   2. (i - j) * j表示将数才成两个，一个为j，一个为i-j
   3. dp[i - j] * j表示将数拆分出一个j后，对剩余的i-j再进行拆分找最大值，即dp[i - j]
4. 确定遍历顺序 dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
5. 模拟验证

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
		int[] dp = new int[n + 1];//存放对索引进行拆分的最大值,不管分几个
		dp[2] = 1;
		for (int i = 3; i < n + 1; i++) {
			for (int j = 1; j < i; j++) {
				dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j * (i - j),j * dp[i - j]));
			}
		}
		return dp[n];
    }
}

对遍历进行优化（没懂）

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
		int[] dp = new int[n + 1];//存放对索引进行拆分的最大值,不管分几个
		dp[2] = 1;
		for (int i = 3; i < n + 1; i++) {
			for (int j = 1; j <= i/2; j++) {
				dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j * (i - j),j * dp[i - j]));
			}
		}
		return dp[n];
    }
}

96.不同的二叉搜索树

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题目

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

解答

五部曲

1. 确定dp dp[i]表示 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

2. 确定规则

   • 

   • 对于dp[3]，分别以j = 1 2 3为头结点进行加和

     • j = 1为头结点，那么左子树有dp[0]种方案，右子树有dp[2]种方案，总方案为dp[0] * dp[2]（索引为结点的个数，即j = 1左子树应该有0个结点，右子树应该有两个结点）
     • 同理 j = 2为头结点，那么左子树有dp[1]种方案，右子树有dp[1]种方案，总方案为dp[1] * dp[1]
     • j = 3为头结点，那么左子树有dp[2]种方案，右子树有dp[0]种方案，总方案为dp[2] * dp[0]
     • dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2] =》 dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3. 初始化：dp[0] = 1（因为是乘法）

4. 遍历顺序：从左到右

   • for (int i = 1; i <= n; i++) {
         for (int j = 1; j <= i; j++) {
             dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
         }
     }
     

5. 验证

   

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
		int[] dp = new int[n + 1];
		dp[0] = 1;
		for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
			for (int j = 1; j <= i; j++) {//j为当前头结点
				dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
			}
		}
		return dp[n];
    }
}